Question

【题目】已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，O是坐标原点.

（1）若直线l过点F且，求直线l的方程；

（2）已知点，若直线l不与坐标轴垂直，且，证明：直线l过定点.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）证明见解析

【解析】

（1）法一：分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，当斜率存在时设直线方程为与联立，利用弦长公式求解；法二：设直线方程为，方程联立后利用弦长公式求解；

（2）设直线方程为与联立，由得，利用根与系数的关系，得到直线过定点.

解：（1）法一：焦点，当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线的交点坐标分别为，，

此时，不符合题意，故直线的斜率存在.

设直线方程为与联立得，

当时，方程只有一根，不符合题意，故.

，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义得

，

解得，

所以方程为或

法二：焦点，显然直线不平行于x轴，设直线方程为，

与联立得，设，

，

由，解得，

所以方程为或

（2）设，，

设直线方程为与联立得

，

由得，即

整理得，即

整理得

即，即

故直线方程为过定点