Question

【题目】已知抛物线的焦点为，轴上方的点在抛物线上，且，直线与抛物线交于，两点（点，与不重合），设直线，的斜率分别为，.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）当时，求证：直线恒过定点并求出该定点的坐标.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）根据及抛物线定义可求p，从而得到方程；

（Ⅱ）设出直线方程，与抛物线方程相联立，写出韦达定理，结合可得关系，从而得到定点坐标.

（Ⅰ）由抛物线的定义可以，

,抛物线的方程为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点的坐标为

当直线斜率不存在时，此时重合，舍去.

当直线斜率存在时，设直线的方程为

设，将直线与抛物线联立得：

又，

即，

，

，

将①代入得，

即

得或

当时，直线为，此时直线恒过;

当时，直线为，此时直线恒过（舍去）

所以直线恒过定点.