Question

【题目】已知函数

（1）判断的单调性；

（2）若函数存在极值，求这些极值的和的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）求出导函数，，对（），用判别式进行分类讨论，以确定的零点与符号，从而确定的单调区间；

（2）题意说明在上有解，且在解的两侧符号相反.

（1）因为，所以，令．

，即时，恒成立，此时，

所以函数在上为减函数；，即或时，有不相等的两根，

设为（），则，．

当或时，，

此时，所以函数在和上为减函数；

当时，，此时，所以函数在上为增函数．

（2）对函数求导得. 因为存在极值，

所以在上有解，即方程在上有解，

即.显然当时，无极值，不合题意，

所以方程必有两个不等正根.

设方程的两个不等正根分别为，则，

由题意知

，

由得，

即这些极值的和的取值范围为．