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    【题目】数列的首项，该数列是公比为的等比数列.记，.

    （1）证明：当时，对一切，都有.

    （2）当时，是否存在自然数，使得对任何自然数，都有？

    【答案】（1）见解析；（2）见解析

    【解析】

    （1）用数学归纳法.

    时，；另一方面，在中

    令，则有.可见时命题成立.

    设时命题成立.即

    .

    则有

    .

    可见，时命题也成立.

    综上所证知，对一切，命题成立.

    （2）由知，的符号取决于的符号.因为，所以为奇数时，；为偶数时，.如果题目条件中的存在，则一定是偶数.

    考查

    .

    可见，在的条件下，等式右端的符号取决于的符号.

    又因为，所以与的符号相反或二者同时为0.

    设，则有时，；

    时，.

    于是，是具有下列性质的项：

    且.另外，显然对一切，，所以，.取，则对于任何，都有.

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