【题目】已知向量=(2sin x,
cos x),
=(-sin x,2sin x),函数f(x)=
·
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且f(C)=1,c=1,ab=2,且a>b,求a,b的值.
【答案】(1)f(x)的单调增区间是.(2)a=2,b=
.
【解析】
试题(1)根据数量积的坐标运算得:f(x)=-2sin2x+sin xcos x=2sin(2x+
)-1,由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
得kπ-
≤x≤kπ+
.(2)由f(C)=2sin(2C+
)-1=1,sin(2C+
)=1,从而得C=
.
=
,整理得a2+b2=7,联立ab=
解方程组可得a=2,b=
.
试题解析:(1)f(x)=-2sin2x+sin xcos x
=-1+cos 2x+sin xcos x
=sin 2x+cos 2x-1=2sin(2x+
)-1 3分
由2kπ-≤2x+
≤2kπ+
,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+
,k∈Z,
∴f(x)的单调增区间是. 6分
(2)∵f(C)=2sin(2C+)-1=1,
∴sin(2C+)=1,
∵C是三角形的内角,∴2C+=
,即C=
8分
∴cos C==
,即a2+b2=7.
将ab=代入可得a2+
=7,解得a2=3或4.
∴a=或2,∴b=2或
.
∵a>b,∴a=2,b=12分.
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【题目】如图,已知点列、
、
、
、
(
)依次为函数
图像上的点,点列
、
、
、
(
)依次为
轴正半轴上的点,其中
(
),对于任意
,点
、
、
构成一个顶角的顶点为
的等腰三角形.
(1)证明:数列是等差数列;
(2)证明:为常数,并求出数列
的前
项和
;
(3)在上述等腰三角形中,是否存在直角三角形?若存在,求出
值,若不存在,请说明理由.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知圆
的参数方程为
(
为参数,
).以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线
的极坐标方程是
.
(1)若直线与圆
有公共点,试求实数
的取值范围;
(2)当时,过点
且与直线
平行的直线
交圆
于
两点,求
的值.
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【题目】已知圆的标准方程为
,圆心为
,直线
的方程为
,点
在直线
上,过
点作圆
的切线
,
,切点分别为
,
.
(1)若,试求点
的坐标;
(2)若点的坐标为
,过
作直线与圆
交于
两点,当
时,求直线
的方程;
(3)求证:经过,
,
三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知cos2A﹣3cos(B+C)=1.
(1)求角A的大小;
(2)若△ABC的面积S=5,b=5,求sinBsinC的值.
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【题目】已知数列的前
项和为
,且满足
,
,设
,则以下四个命题:(1)
是等差数列;(2)
中最大项是
;(3)
通项公式是
;(4)
.其中真命题的序号是______.
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【题目】如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt△FHE,H是直角项点)来处理污水.管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20米,AD=米,记∠BHE=
.
(1)试将污水净化管道的长度L表示为的函数,并写出定义域;
(2)当取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度L.
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