【题目】已知正整数数列满足对任意的正整数均有,证明:存在无穷多个正整数对(),使得.
【答案】见解析
【解析】
用反证法.
假设所有满足的正整数对()只有有限多个,
即存在正整数使得所有满足要求的都小于.
下面用数学归纳法证明:对正整数,
存在有限集和由2013个不小于的连续正整数组成的集合,
使得中至少有个元素可以被中的某些元素整除.
当时,集合,符合要求.
当时,假定集合、满足要求.
对,令,
其中,中包含了2013个不小于的连续的正整数.
事实上,它们也不小于中的最大元素.
又由于中至少有个元素能被中的某些元素整除,
因此,对,也能被中的某些元素整除.
由,且中的元素不小于,知存在某些,使得.
由中的元素不小于中的最大元素,知.
从而,由的定义,知中没有元素能整除.
故中至少有个元素能被中的某些元素整除(中至少有个元素能被中的某些元素整除,能被其自身整除).
因此,令即可完成归纳证明.
令.于是,有2013元集中至少有2014个数能被中的某些元素整除,矛盾.
故对任意的正整数,均存在及,使得.
因此,存在无穷多个正整数对(),使得.
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【题目】随着我国经济实力的不断提升,居民收入也在不断增加.某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍,实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了变化,现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例,得到了如下折线图:
则下列结论中正确的是( )
A.该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半
B.该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的五倍
C.该家庭2019年教育医疗的消费额与2015年教育医疗的消费额相当
D.该家庭2019年生活用品的消费额是2015年生活用品的消费额的两倍
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【题目】已知()的方格表中的每个元素都是绝对值不大于1的实数,且方格表中所有元素之和等于0,试求最小的非负实数,使得每个这样的方格表中必有一行或一列,其元素之和的绝对值不大于.
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【题目】已知抛物线的焦点为,轴上方的点在抛物线上,且,直线与抛物线交于,两点(点,与不重合),设直线,的斜率分别为,.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)当时,求证:直线恒过定点并求出该定点的坐标.
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【题目】国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地,目前德国汉堡,美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出,某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度,选了某小区的100位居民调查结果统计如下:
支持 | 不支持 | 合计 | |
年龄不大于50岁 | 80 | ||
年龄大于50岁 | 10 | ||
合计 | 70 | 100 |
(1)根据已知数据,把表格数据填写完整;
(2)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运有关?
(3)已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有6名女性,其中2名是女教师.现从这6名女性中随机抽取2名,求恰有1名女教师的概率.
附:,,
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】已知函数的定义域为[-1,5],部分对应值如下表,的导函数的图象如图所示,下列关于的命题正确的是( )
0 | 4 | 5 | ||
1 | 2 | 2 | 1 |
A.函数的极大值点为0,4;
B.函数在[0,2]上是减函数;
C.如果当时,的最大值是2,那么的最大值为4;
D.函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个.
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【题目】甲、乙两队进行篮球决赛,采取五场三胜制(当一队赢得三场胜利时,该队获胜,比赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主”.设甲队主场取胜的概率为,客场取胜的概率为,且各场比赛结果相互独立,则甲队不超过场即获胜的概率是( )
A.B.C.D.
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