Question

【题目】已知正整数数列满足对任意的正整数均有，证明：存在无穷多个正整数对（），使得．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

用反证法．

假设所有满足的正整数对（）只有有限多个，

即存在正整数使得所有满足要求的都小于．

下面用数学归纳法证明：对正整数，

存在有限集和由2013个不小于的连续正整数组成的集合，

使得中至少有个元素可以被中的某些元素整除．

当时，集合，符合要求．

当时，假定集合、满足要求．

对，令，

其中，中包含了2013个不小于的连续的正整数．

事实上，它们也不小于中的最大元素．

又由于中至少有个元素能被中的某些元素整除，

因此，对，也能被中的某些元素整除．

由，且中的元素不小于，知存在某些，使得．

由中的元素不小于中的最大元素，知．

从而，由的定义，知中没有元素能整除．

故中至少有个元素能被中的某些元素整除（中至少有个元素能被中的某些元素整除，能被其自身整除）．

因此，令即可完成归纳证明．

令．于是，有2013元集中至少有2014个数能被中的某些元素整除，矛盾．

故对任意的正整数，均存在及，使得．

因此，存在无穷多个正整数对（），使得．