【题目】在三棱柱中,
与
均为等边三角形,
,O为BC的中点.
(1)证明:平面平面ABC;
(2)在棱上确定一点M,使得二面角
的大小为
.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)要证明平面平面ABC,只需证明
平面ABC即可.因为
为等边三角形,所以
再根据勾股定理证明
,即可证出
平面ABC;
(2)以OA,OB,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,根据向量共线定理用参数
表示出点
的坐标,分别求出平面
和平面
的法向量,由二面角的向量公式列式,即可求出参数
,确定
的位置.
(1)因为与
均为等边三角形,
,O为BC的中点,
所以.
在中,
,
从而有,所以
,
又因为,所以
平面ABC,
又因为平面
,所以平面
平面ABC.
(2)以OA,OB,所在直线分别为x轴,y轴,z轴
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,
则,
,由(1)可知,
平面
,
是平面
的一个法向量,
设,其中
.
所以
,
,
设平面的法向量为
,
则
取,则
,
所以,
解得.
即存在一点M,且时,二面角
的大小为
.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
是正方形,且
,平面
平面
,
,点
为线段
的中点,点
是线段
上的一个动点.
(Ⅰ)求证:平面
平面
;
(Ⅱ)设二面角的平面角为
,试判断在线段
上是否存在这样的点
,使得
,若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】随着经济的发展,个人收入的提高,自2019年1月1日起,个人所得税起征点和税率的调整,调整如下:纳税人的工资、薪金所得,以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额,依照个人所得税税率表,调整前后的计算方法如下表:
(1)假如小红某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元,记表示总收入,
表示应纳的税,试写出调整前后
关于
的函数表达式;
(2)某税务部门在小红所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入,并制成下面的频数分布表:
①先从收入在及
的人群中按分层抽样抽取7人,再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员,用
表示抽到作为宣讲员的收入在
元的人数,
表示抽到作为宣讲员的收入在
元的人数,随机变量
,求
的分布列与数学期望;
②小红该月的工资、薪金等税前收入为7500元时,请你帮小红算一下调整后小红的实际收入比调整前增加了多少?
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【题目】在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且asin B=-bsin.
(1)求A;
(2)若△ABC的面积S=c2,求sin C的值.
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【题目】如图,四棱锥 中,
是正三角形,四边形ABCD是矩形,且平面
平面
.
(1)若点E是PC的中点,求证:平面BDE;
(2)若点F在线段PA上,且,当三棱锥
的体积为
时,求实数
的值.
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【题目】甲、乙两人进行象棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为
,各局比赛结果相互独立.
(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;
(2)用X表示比赛决出胜负时的总局数,求随机变量X的分布列.
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