【题目】设函数.
(1)求函数的极值点个数;
(2)若,证明
.
【答案】(1)2个(2)详见解析
【解析】
(1)由是奇函数,把问题转化成
的极值点个数问题,求出
,把
的正负问题转化成
正负来处理,求出
,判断
的单调性,结合函数零点判断方法即可判断在区间
上存在唯一的
使
.在
上不存在
使得
,问题得解。
(2)利用(1)中的结论可知:在区间
内恒成立.令
,可将问题转化成
,问题得证。
解:(1)因为为奇函数,其图像关于原点对称,所以只需考虑
上的极值点个数,
,
时,
.
令,
,
∴当时,
,
单调递减,
当时,
,
单调递增,
∴.
取,
,
∴在区间上存在唯一的
使
.
∴在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.
又为奇函数,
∴在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
∴的极值点共2个.
(2)由(1)可知在区间
内单调递减,且
恒成立.
∴时,
,
即得.
又令,
得.
∴
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【题目】一种抛硬币游戏的规则是:抛掷一枚硬币,每次正面向上得1分,反面向上得2分.
(1)设抛掷5次的得分为,求
的分布列和数学期望
;
(2)求恰好得到分的概率.
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【题目】已知某工厂每天的固定成本是4万元,每生产一件产品成本增加100元,工厂每件产品的出厂价定为a元时,生产x件产品的销售收入为(元),
为每天生产x件产品的平均利润(平均利润=总利润/总产量).销售商从工厂每件a元进货后又以每件b元销售,
,其中c为最高限价
,
为该产品畅销系数.据市场调查,
由当
是
的比例中项时来确定.
(1)每天生产量x为多少时,平均利润取得最大值?并求出
的最大值;
(2)求畅销系数的值;
(3)若,当厂家平均利润最大时,求a与b的值.
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【题目】曲线的参数方程为
(t为参数),以原点为极点,
轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,曲线
关于
对称.
(1)求极坐标方程,
直角坐标方程;
(2)将向左平移4个单位长度,按照
变换得到
与两坐标轴交于
两点,
为
上任一点,求
的面积的最大值.
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【题目】(12分) 由0,1,2,3,4,5这六个数字。
(1)能组成多少个无重复数字的四位数?
(2)能组成多少个无重复数字的四位偶数?
(3)能组成多少个无重复数字且被25个整除的四位数?
(4)组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个?
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【题目】曲线的参数方程为
(t为参数),以原点为极点,
轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,曲线
关于
对称.
(1)求极坐标方程,
直角坐标方程;
(2)将向左平移4个单位长度,按照
变换得到
与两坐标轴交于
两点,
为
上任一点,求
的面积的最大值.
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【题目】已知椭圆的方程为
,双曲线
的一条渐近线与
轴所成的夹角为
,且双曲线的焦距为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设分别为椭圆
的左,右焦点,过
作直线
(与
轴不重合)交椭圆于
,
两点,线段
的中点为
,记直线
的斜率为
,求
的取值范围.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
且椭圆上存在一点
,满足
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知分别是椭圆
的左、右顶点,过
的直线交椭圆
于
两点,记直线
的交点为
,是否存在一条定直线
,使点
恒在直线
上?
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【题目】有2012位学者参加某数学会议,他们中有些人相互认识,且满足:
(1)每个人至少认识其中的671个人;
(2)对于其中任意两个人、
,若
、
相互不认识,则总可以通过其他人间接认识,即存在
,使得
认识
,
认识
,
认识
;
(3)不可以将2012位学者排成一排,使得相邻的两个人相互认识.
证明:可以将2012位学者分成两组,其中一组能够排成一圈,使得相邻的人相互认识,另一组任何两个人不认识.
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