Question

【题目】从左到右依次写出1到10000的全部正整数，然后去掉那些能被5或7整除的数，将剩下的数连成一排组成一个新数。试求：

（1）新数的位数；

（2）新数被11除的余数。

Answer 1

【答案】（1）26667；（2）见解析

【解析】

（1）显然，剩下的数被35除的余数为1，2，3，4，6，8，9，11，12，13，16，17，18，19，22，23，24，26，27，29，31，32，33，34，依次记为，在中，剩下7个数，依次记为，在中，，知剩下个数，依次记为，在中，由，知剩下个数，依次记为，在中，由，知剩下个数，依次记为.综上，新数的位数为.

（2）首先有两个结论：

（i）若均为位正整数，则.

（ii）由正整数组成的任意等差数列中的连续11项之和能被11整除，

显然，

，

.

设新数为，

其中， ，

，

，

，

所以，.