Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足

BF1

=

F1F2

，AB⊥AF₂，且过A，B，F₂三点的圆与直线x-

3

y-3=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P（m，0），求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）连接AF₁，由已知条件推导出a=2c=2，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立方程组

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）连接AF₁，∵AB⊥AF₂，

BF1

=

F1F2

，∴|AF₁|=|F₁F₂|，
∴a=2c，∴F₂（

1

2

a，0），B（-

3

2

a，0），
Rt△ABC的外接圆圆心为F1(-

1

2

a，0)，
半径r=

1

2

|F₂B|=a，
由已知圆心到直线的距离为a，
∴

|- 1 2 a-3|

2

=a，解得a=2，
∴c=1，b=

3

，
∴所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）∵F₂（1，0），设直线l的方程为y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立方程组

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，
消去y，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
则x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

-6k

3+4k2

，
MN的中点为（

4k2

3+4k2

，

-3k

3+4k2

），
当k=0时，MN为长轴，中点为原点，则m=0，
当k≠0时，MN垂直平分线方程y+

3k

3+4k2

=-

1

k

-(x-

4k2

3+4k2

)，
令y=0，∴m=

k2

3+4k2

=

1

3 k2 +4

，
∵

3

k2

＞0，∴

3

k2

+4＞4，解得0＜m＜

1

4

，
∴实数m的取值范围是[0，

1

4

）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和函数与方程思想的合理运用．