Question

给出下列命题：
①存在实数α，使sinα•cosα=1
②存在实数α，使sinα+cosα=

3

2

③函数y=sin（

3

2

π+x）是偶函数
④x=

π

8

是函数y=sin（2x+

5

4

π）的一条对称轴方程
⑤若α、β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ
⑥若α、β∈（

π

2

，π），且tanα＜cotβ，则α+β＜

3π

2

其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,简易逻辑

分析：根据二倍角公式得到sinαcosα=

1

2

sin2α，结合正弦函数的值域可判断①；
根据两角和与差的正弦公式可得到sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）结合正弦函数的值域可判断②；
根据诱导公式得到y=sin（

3

2

π+x）=-cosx，再由余弦函数的奇偶性可判断③；
x=

π

8

代入到y=sin（2x+

5

4

π）得到sin（2×

π

8

+

5

4

π）=sin

3π

2

=-1，根据正弦函数的对称性可判断④．
⑤举反例加以说明．⑥利用相同的单调区间上正切函数的单调性可判断．
通过以上分析即可得到正确答案．

解答： 解：∵sinαcosα=

1

2

sin2α=1∴sin2α=2，与正弦函数的值域矛盾，故①不对；
∵sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）≤

2

＜

3

2

，从而可判断②不对；
∵y=sin（

3

2

π+x）=-cosx，为偶函数，故③正确；
将x=

π

8

代入到y=sin（2x+

5

4

π）得到sin（2×

π

8

+

5

4

π）=sin

3π

2

=-1，
故x=

π

8

是函数y=sin（2x+

5

4

π）的一条对称轴方程，故④正确．
⑤取α=

13π

6

，β=，α、β是第一象限的角，且α＞β，但sinα＜sinβ，∴命题⑤错误．
⑥：∵α、β∈（

π

2

，π），∴-π＜-β＜-

π

2

，

π

2

＜

3π

2

-β＜π，
又cotβ=tan（

π

2

-β）=tan（

3π

2

-β），tanα＜cotβ，
∴tanα＜tan（

3π

2

-β），α、

3π

2

-β∈（

π

2

，π），又y=tanx在（

π

2

，π）上单调递增，
∴α＜

3π

2

-β，即α+β＜

3π

2

．正确
故答案为：③④⑥．

点评：本题主要考查二倍角公式、两角和与差的公式、诱导公式和三角函数的对称性．考查三角函数公式的综合应用．三角函数的公式比较多，很容易记混，平时要注意积累．