Question

设A，B是椭圆W：

x2

4

+

y2

3

=1上不关于坐标轴对称的两个点，直线AB交x轴于点M（与点A，B不重合），O为坐标原点．
（Ⅰ）如果点M是椭圆W的右焦点，线段MB的中点在y轴上，求直线AB的方程；
（Ⅱ）设N为x轴上一点，且

OM

•

ON

=4，直线AN与椭圆W的另外一个交点为C，证明：点B与点C关x轴对称．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出点B的坐标为（-1，±

3

2

），由此能求出直线AB（即MB）的方程．
（Ⅱ）设点B关于x轴的对称点为B₁（在椭圆W上），要证点B与点C关于x轴对称，只要证点B₁与点C重合，又因为直线AN与椭圆W的交点为C（与点A不重合），所以只要证明点A，N，B₁三点共线．

解答： （Ⅰ）解：椭圆W：

x2

4

+

y2

3

=1的右焦点为M（1，0），
因为线段MB的中点在y轴上，
所以点B的横坐标为-1，
因为点B在椭圆W上，
将x=-1代入椭圆W的方程，得点B的坐标为（-1，±

3

2

）．
所以直线AB（即MB）的方程为3x-4y-3=0或3x+4y-3=0．
（Ⅱ）证明：设点B关于x轴的对称点为B₁（在椭圆W上），
要证点B与点C关于x轴对称，
只要证点B₁与点C重合，．
又因为直线AN与椭圆W的交点为C（与点A不重合），
所以只要证明点A，N，B₁三点共线．
以下给出证明：
由题意，设直线AB的方程为y=kx+m，（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则B₁（x₂，-y₂）．
由

3x2+4y2=12 y=kx+m

，
得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
所以△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

．
在y=kx+m中，令y=0，得点M的坐标为（-

m

k

，0），
由

OM

•

ON

=4，得点N的坐标为N（-

4k

m

，0），
设直线NA，NB₁的斜率分别为k_NA，kNB1，
则kNA-kNB1=

y1

x1+ 4k m

-

-y2

x2+ 4k m

=

x2y1+y1× 4k m +x1y2+y2× 4k m

(x1+ 4k m )(x2+ 4k m )

，
因为x2y1+y1×

4k

m

+x1y2+y2×

4k

m

=x2(kx1+m)+(kx1+m)×

4k

m

+x1(kx2+m)+(kx2+m)×

4k

m

=2kx1x2+(m+

4k2

m

)(x1+x2)+8k
=2k×（

4m2-12

3+4k2

）+（m+

4k2

m

）（-

8km

3+4k2

）+8k
=

8m2k-24k-8m2k-32k3+24k+32k3

3+4k2

=0．
所以kNA-kNB1=0，
所以点A，N，B₁三点共线，
即点B与点C关于x轴对称．

点评：本题考查直线方程的求法，考查两点关于x轴对称的证明，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．