Question

已知函数f（x）=

3

sin2x-cos2x（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=2，c=3，△ABC的面积为3

3

，求a的值．

Answer 1

考点：正弦定理,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）化简函数的解析式为f（x）=2sin（2x-

π

6

），令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．
（Ⅱ）根据 f（A）=2=2sin（2A-

π

6

）=2，求得A的值，再由S_△ABC=

1

2

bc•sinA=3

3

解得b的值，从而利用余弦定理得a的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈z．
故函数的增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
（Ⅱ）∵f（x）=2sin（2x-

π

6

），∴f（A）=2=2sin（2A-

π

6

）．
∵0＜A＜

π

2

，∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

5π

6

，∴2A-

π

6

=

π

2

，∴A=

π

3

． 
由S_△ABC=

1

2

bc•sinA=3

3

 解得b=4．
由余弦定理得 a²=b²+c²-2bc•cosA=16+9-24×

1

2

=13，
∴a=

13

．

点评：本题主要考查正弦函数的单调性，两角和差的正弦公式，根据三角函数的值求角，余弦定理，属于中档题．