Question

已知函数f（x）=|log₃（x-1）|-（

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）^x-1有2个不同的零点x₁、x₂，则（　　）

• A、x₁•x₂＜1
• B、x₁•x₂=x₁+x₂
• C、x₁•x₂＞x₁+x₂
• D、x₁•x₂＜x₁+x₂

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：先将f（x）=|log₃（x-1）|-（

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）^x-1有两个零点转化为y=|log₃（x-1）|与y=3^-x+1有两个交点，然后在同一坐标系中画出两函数的图象，得到零点在（1，2）和（2，+∞）内，即可得到-3^-x₁ =log₃x₁和3^-x₂ =log₃x₂，然后两式相加，即可求得x₁x₂的范围．

解答： 解：f（x）=|log₃（x-1）|-（

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）^x-1有两个零点x₁，x₂，
即y=|log₃（x-1）|与y=3^-x+1有两个交点．
由题意x＞0，分别画y=3^-x+1和y=|log₃（x-1）|的图象，
发现在（1，2）和（2，+∞）有两个交点．
不妨设 x₁在（1，2）里 x₂在（2，+∞）里，
那么 在（1，2）上有 1+3^-x₁=-log₃（x₁-1），
即-1-3^-x₁=log₃（x₁-1）…①
在（2，+∞）上有1+3^-x₂ =log₃（x₂-1）．…②
①、②相加有 3^-x₂-3^-x₁=log₃（x₁-1）（x₂-1），
∵x₂＞x₁，∴3^-x₂＜3^-x₁，即 3^-x₂-3^-x₁＜0，
∴log₃（x₁-1）（x₂-1）＜0，
∴0＜（x₁-1）（x₂-1）＜1，∴x₁x₂＜x₁+x₂，
故选D．

点评：本题主要考查确定函数零点所在区间的方法--转化为两个函数的交点问题．函数的零点等价于函数与x轴的交点的横坐标，等价于对应方程的根，属于中档题．