Question

应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+

4

x

在区间（0，2）上是减函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：任取x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，通过作差比较f（x₁）与f（x₂）的大小，根据增函数的定义，只需说明f（x₁）＜f（x₂）即可．

解答： 证明：任取x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=x1+

4

x1

-（x2+

4

x2

)=

(x2-x1)(4-x1x2)

x1x2

因为0＜x₁＜x₂＜2，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＜4，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）=x+

4

x

在（0，2）上为减函数．

点评：本题考查函数单调性的证明，属基础题，单调性的证明方法主要有：定义法；导数法，要熟练掌握．