Question

4．已知直线y=ax+1和抛物线y²=4x（F是抛物线的焦点）相交于A、B两点．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求实数a的值，使得以AB为直径的圆过F点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将直线方程代入椭圆方程，由△＞0及a≠0，即可求得实数a的取值范围；
（Ⅱ）由以AB为直径的圆过F，则$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=0，即可求得a的值．

解答 解：（Ⅰ）将直线方程代入双曲线方程，$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，
整理得：a²x²-（4-2a）+1=0．
由题意可知，△＞0，即（4-2a）²-4×a²＞0，解得：a＜1，
由当a=0时直线与抛物线只有一个交点，故不成立，
实数a的取值范围（-∞，0）∪（0，1）；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（Ⅰ）可知：x₁+x₂=$\frac{4-2a}{{a}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{1}{{a}^{2}}$，
由于以AB为直径的圆过原点，故∠AFB=90°，于是：
∴$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）+（ax₁+1）（ax₂+1），
=（a²+1）x₁•x₂+（a-1）（x₁+x₂）+2，
=（a²+1）$\frac{1}{{a}^{2}}$+（a-1）$\frac{4-2a}{{a}^{2}}$+2=0，
解得：a=-3±2$\sqrt{3}$，
由a∈（-∞，0）∪（0，1）
所以实数a的值为-3-2$\sqrt{3}$或-3+2$\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．