Question

5．已知函数f（x）=|x-10|+|x-20|，且满足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求$a+\frac{4}{a^2}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意，f（x）＜10a+10解集不是空集，则有则（|x-10|+|x-20|）_min＜10a+10，从而求解a的范围即可．
（2）由（1）可知a的范围，利用基本不等式即可求最小值．

解答 解：（1）由题意，f（x）＜10a+10解集不是空集，即|x-10|+|x-20|＜10a+10，
则（|x-10|+|x-20|）_min＜10a+10成立，
解得：10＜10a+10，
∴a＞0，
故实数a的取值范围是（0，+∞）
（2）由（1）可知a＞0，
那么：求$a+\frac{4}{a^2}$=$\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{4}{a^2}≥3\root{3}{{\frac{a}{2}•\frac{a}{2}•\frac{4}{a^2}}}=3$
当且仅当$\frac{a}{2}=\frac{4}{a^2}$，即a=2时取等号．
故$a+\frac{4}{a^2}$的最小值为3．

点评 本题考查了绝对值恒成立的问题和基本不等式的运用．属于基础题．