Question

a

，

b

是两个不共线的非零向量，且|

a

|=|

b

|=1且

a

与

b

夹角为120°．
（1）记

OA

=

a

，

OB

=t

b

，

OC

=

1

3

(

a

+

b

)，当实数t为何值时，∠ACB为钝角？
（2）令f(x)=|

a

-

b

sinx|，x∈[0，2π]，求f（x）的值域及单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）由|

a

|=|

b

|=1且

a

与

b

夹角为120°．可得

a

•

b

=|

a

| |

b

|cos120°=-

1

2

．利用向量的运算法则可得

CA

=

OA

-

OC

=

2

3

a

-

1

3

b

，

CB

=

OB

-

OC

=-

1

3

a

+(t-

1

3

)

b

．由

CA

•

CB

=(

2

3

a

-

1

3

b

)•[-

1

3

a

+(t-

1

3

)

b

]＜0，解得t＞-

1

12

．又

CA

∥

CB

时，解得t=

1

2

．即可得到t的取值范围．
（2）利用数量积性质可得：f(x)=|

a

-

b

sinx|=

a 2+ b 2sin2x-2 a • b sinx

=

(sinx+ 1 2 )2+ 3 4

，利用sinx和二次函数及其幂函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）∵|

a

|=|

b

|=1且

a

与

b

夹角为120°．∴

a

•

b

=|

a

| |

b

|cos120°=-

1

2

．

CA

=

OA

-

OC

=

a

-

1

3

(

a

+

b

)=

2

3

a

-

1

3

b

，

CB

=

OB

-

OC

=t

b

-

1

3

(

a

+

b

)=-

1

3

a

+(t-

1

3

)

b

．
由

CA

•

CB

=(

2

3

a

-

1

3

b

)•[-

1

3

a

+(t-

1

3

)

b

]=-

2

9

a

+

2

3

(t-

1

3

)

a

•

b

+

1

9

a

•

b

-

1

3

(t-

1

3

)

b

2
=-

2

9

+

2

3

(t-

1

3

)×(-

1

2

)+

1

9

×(-

1

2

)-

1

3

(t-

1

3

)×1＜0，
化为12t＞-1，
解得t＞-

1

12

，
又

CA

∥

CB

时，解得t=

1

2

．
∴t的取值范围是(-

1

12

，

1

2

)∪(

1

2

，+∞)．
（2）f(x)=|

a

-

b

sinx|=

a 2+ b 2sin2x-2 a • b sinx

=

sin2x+sinx+1

=

(sinx+ 1 2 )2+ 3 4

，
∵x∈[0，2π]，∴sinx∈[-1，1]．
当sinx=-

1

2

时，f(x)min=f(-

1

2

)=

3

2

；当sinx=1时，f(x)max=

3

．
∴f(x)∈[

3

2

，

3

]．
当x∈[

π

2

，

7π

6

]时，sinx∈[-

1

2

，1]，且f（x）在x∈[

π

2

，

7π

6

]上单调递减；
当x∈[

3π

2

，

11π

6

]时，sinx∈[-1，-

1

2

]，且f（x）在x∈[

3π

2

，

11π

6

]上单调递减．
综上可得：f（x）单调递减是[

π

2

，

7π

6

]∪[

3π

2

，

11π

6

]．

点评：本题考查了向量的运算法则、数量积运算、夹角公式、正弦函数的单调性、二次函数及其幂函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．