Question

18．已知e^x≥ax+1，对?x≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 f'（x）=e^x-a．分两种情况进行讨论：①当a≤1时，易知f（x）在（0，+∞）上单调递增，可判断结论是否成立；当a＞1时，利用导数求得函数的最小值，令其大于等于0，再通过构造函数可求a的范围．

解答 解：f'（x）=e^x-a．
①当a≤1时，f'（x）=e^x-a≥0对?x≥0恒成立，即f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；
又f（0）=0，∴f（x）≥f（0）=0对?x≥0恒成立．
②当a＞1时，令f'（x）=0，得x=lna＞0．
当x∈（0，lna） 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（lna，+∞） 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
若f（x）≥0对任意x≥0恒成立，则只需f（x）_min=f（lna）=e^lna-alna-1=a-alna-1≥0，
令g（a）=a-alna-1（a＞1），则g'（a）=1-lna-1=-lna＜0，即g（a）在区间（1，+∞）上单调递减；
又g（1）=0．故g（a）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．即a＞1时，满足a-alna-1≥0的a不存在．
综上：a≤1．

点评 本题考查利用导数研究恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，恒成立问题常化为函数最值解决，关于不等式证明问题则对能力要求较高，注意往往用前面的结论．