Question

已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.

(1)求证：AP⊥EF；

(2)求证：平面APE⊥平面APF；

(3)求异面直线PA和EF的距离.

Answer 1

(1)证明:如下图，∵∠APE＝∠APF＝90°，PE∩PF＝P，∴PA⊥平面PEF.

    ∵EF平面PEF,∴PA⊥EF.

(2)证明:∵∠APE＝∠EPF＝90°，AP∩PF＝P，∴PE⊥平面APF.又PE平面PAE，∴平面APE⊥平面APF.

(3)解:在面PEF中，作PＧ⊥EF,垂足为G，

    ∵AP与面PEF垂直，PG平面PEF，

    ∴AP⊥PＧ，PＧ⊥EF，PG是AP与EF的公垂线.在等腰Rt△PEF中，PE＝PF＝，∠EPF＝90°，∴PＧ＝EＧ＝.