【题目】在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(其中t为参数),现以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ.
(Ⅰ)写出直线l和曲线C的普通方程;
(Ⅱ)已知点P为曲线C上的动点,求P到直线l的距离的最小值.
【答案】(Ⅰ),
.(Ⅱ)
.
【解析】
(Ⅰ)消去参数可得直线的普通方程y=x-4.极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线C的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4;
(Ⅱ)由题意利用几何法确定P到直线l的距离的最小值即可.
(Ⅰ)直线l:(其中t为参数),消去参数t得普通方程y=x-4.
由ρ=4sinθ得ρ2=4ρsinθ.
由x=ρcosθ,y=ρsinθ以及x2+y2=ρ2,得
x2+(y-2)2=4;
(Ⅱ)由x2+(y-2)2=4得圆心坐标为(0,2),半径R=2,
则圆心到直线的距离为:d==3
,
而点P在圆上,即O′P+PQ=d(Q为圆心到直线l的垂足),
所以点P到直线l的距离最小值为3-2.
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【题目】某地区为了解群众上下班共享单车使用情况,根据年龄按分层抽样的方式调查了该地区50名群众,他们的年龄频数及使用共享单车人数分布如下表:
年龄段 | 20~29 | 30~39 | 40~49 | 50~60 |
频数 | 12 | 18 | 15 | 5 |
经常使用共享单车 | 6 | 12 | 5 | 1 |
(1)由以上统计数据完成下面的列联表,并判断是否有95%的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用共享单车有差异?
年龄低于40岁 | 年龄不低于40岁 | 总计 | |
经常使用共享单车 | |||
不经常使用共享单车 | |||
总计 |
附:,
.
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
(2)若采用分层抽样的方式从年龄低于40岁且经常使用共享单车的群众中选出6人,再从这6人中随机抽取2人,求这2人中恰好有1人年龄在30~39岁的概率.
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【题目】在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y,设O为坐标原点,点P的坐标为记
.
(1)求随机变量的最大值,并求事件“
取得最大值”的概率;
(2)求随机变量的分布列和数学期望.
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【题目】下列说法正确的有( )
①在回归分析中,可以借助散点图判断两个变量是否呈线性相关关系.
②在回归分析中,可以通过残差图发现原始数据中的可疑数据,残差平方和越小,模型的拟合效果越好.
③在回归分析模型中,相关系数的绝对值越大,说明模型的拟合效果越好.
④在回归直线方程中,当解释变量
每增加1个单位时,预报变量
增加0.1个单位.
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】在海上进行工程建设时,一般需要在工地某处设置警戒水域;现有一海上作业工地记为点,在一个特定时段内,以点
为中心的1海里以内海域被设为警戒水域,点
正北
海里处有一个雷达观测站
,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点
北偏东
且与点
相距10海里的位置
,经过12分钟又测得该船已行驶到点
北偏东
且与点
相距
海里的位置
.
(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);
(2)若该船不改变航行方向继续行驶.试判断它是否会进入警戒水域(点与船的距离小于1海里即为进入警戒水域),并说明理由.
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【题目】2015年推出一种新型家用轿车,购买时费用为16.9万元,每年应交付保险费、养路费及汽油费共1.2万元,汽车的维修费为:第一年无维修费用,第二年为0.2万元,从第三年起,每年的维修费均比上一年增加0.2万元.
(I)设该辆轿车使用n年的总费用(包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费)为f(n),求f(n)的表达式;
(II)这种汽车使用多少报废最合算(即该车使用多少年,年平均费用最少)?
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【题目】已知数列的前n项和为
,且满足
,数列
中,
,对任意正整数
,
.
(1)求数列的通项公式;
(2)是否存在实数,使得数列
是等比数列?若存在,请求出实数
及公比q的值,若不存在,请说明理由;
(3)求数列前n项和
.
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【题目】如图,已知圆O:和点
,由圆O外一点P向圆O引切线
,Q为切点,且有
.
(1)求点P的轨迹方程,并说明点P的轨迹是什么样的几何图形?
(2)求的最小值;
(3)以P为圆心作圆,使它与圆O有公共点,试在其中求出半径最小的圆的方程.
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