Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数），现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．

（Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程；

（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)，.(Ⅱ).

【解析】

(Ⅰ)消去参数可得直线的普通方程y=x-4．极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线C的直角坐标方程为x2+（y-2）2=4；

(Ⅱ)由题意利用几何法确定P到直线l的距离的最小值即可.

（Ⅰ）直线l：（其中t为参数），消去参数t得普通方程y=x-4．

由ρ=4sinθ得ρ2=4ρsinθ．

由x=ρcosθ，y=ρsinθ以及x2+y2=ρ2，得

x2+（y-2）2=4；

（Ⅱ）由x2+（y-2）2=4得圆心坐标为（0，2），半径R=2，

则圆心到直线的距离为：d==3，

而点P在圆上，即O′P+PQ=d（Q为圆心到直线l的垂足），

所以点P到直线l的距离最小值为3-2．