Question

给出下列命题：
①|

a

-

b

|≤|

a

|-|

b

|；②

a

，

b

共线，

b

，

c

平，则

a

与

c

为平行向量；③

a

，

b

，

c

为相互不平行向量，则（

b

-

c

）

a

-（

c

-

a

）

b

与

c

垂直；④在△ABC中，若a²taanB=b²tanA，则△ABC一定是等腰直角三角形；⑤

a

•

b

=

a

•

c

，则

a

⊥（

b

-

c

）   
其中错误的有

 

．

Answer 1

分析：根据向量减法的三角形法则，可以判断①的真假；考虑0向量的特殊性，即可判断②的真假；由于数量没有方向，故不存在数量与向量平行，由此判断③的真假；利用正弦定理的边角互化，结合倍角公式及三角函数的性质，我们可以判断④的真假；根据向量加法的分配律，及向量垂直的性质，可以判断⑤的正误．进而得到答案．

解答：解：根据向量减法的三角形法则我们可得：|

a

-

b

|≤|

a

|-|

b

|，当向量

a

与

b

反向，且|

a

|＞|

b

|时取等号，故①正确；
若

b

=

0

，则当

a

，

b

共线，

b

，

c

平行均成立时，则

a

与

c

为也可能不平行，故②错误；
∵由于（

b

-

c

）

a

-（

c

-

a

）

b

是一个数量，故③错误；
在△ABC中，若a²tanB=b²tanA
则a2

sinB

cosB

=b2

sinA

cosA

，即a2

b

cosB

=b2

a

cosA

即

sinA

cosB

=

sinB

cosA

，即sin2A=sin2B
则2A=2B，或2A+2B=π
则△ABC是等腰三角形或直角三角形，故④错误；
若

a

•

b

=

a

•

c

，则

a

•

b

-

a

•

c

=0，即

a

•（

b

-

c

）=0，则

a

⊥（

b

-

c

），故⑤正确；
故答案为：②③④

点评：本题考查的知识点是平行向量与共线向量，数量积判断两个平面向量的垂直关系，三角形形状的判断，向量加法的三角形法则，比较综合的考查了平面向量的运算法则和运算性质，属于基础题．