Question

已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点M（2，t）（t＞0）在椭圆的准线上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程：
（Ⅱ）求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；
（Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）把M的横坐标代入准线方程得到一个关系式，然后由短半轴b和c表示出a，代入关系式得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，进而得到a的值，由a和b的值写出椭圆的标准方程即可；
（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x-4y-5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；
（3）设出点N的坐标，表示出

FN

，

OM

，

MN

，

ON

，由

FN

⊥

OM

，得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又

MN

⊥

ON

，同理根据平面向量的数量积的运算法则得到另一个关系式，把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值．

解答： 解：（Ⅰ）又由点M在准线上，得

a2

c

=2故

1+c2

c

=2，∴c=1，从而a=

2

所以椭圆方程为

x2

2

+y²=1；
（Ⅱ）以OM为直径的圆的方程为x（x-2）+y（y-t）=0
即（x-1）²+(y-

t

2

)2=

t2

4

+1，
其圆心为（1，

t

2

），半径r=

t2 4 +1

因为以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2
所以圆心到直线3x-4y-5=0的距离d=

r2-1

=

t

2

所以

|3-2t-5|

5

=

t

2

，解得t=4
所求圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=5
（Ⅲ）设N（x₀，y₀），则

FN

=（x₀-1，y₀），

OM

=（2，t），

MN

=（x₀-2，y₀-t），

ON

=（x₀，y₀），
∵

FN

⊥

OM

，∴2（x₀-1）+ty₀=0，∴2x₀+ty₀=2，
又∵

MN

⊥

ON

，∴x₀（x₀-2）+y₀（y₀-t）=0，
∴x₀²+y₀²=2x₀+ty₀=2，
所以|

ON

|=

x 2 0 + y 2 0

=

2

为定值．

点评：此题综合考查了椭圆的简单性质，垂径定理及平面向量的数量积的运算法则．要求学生掌握平面向量垂直时满足的条件是两向量的数量积为0，以及椭圆中长半轴的平方等于短半轴与半焦距的平方和．