Question

1．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$
（1）画出函数f（x）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]上的简图．
（2）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，求函数g（x）在该区间的最大值及取得最大值时x的值．

Answer 1

分析 （1）用五点法即可画出函数f（x）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]上的简图．
（2）由已知可求g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$+m，由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，可求范围2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，利用正弦函数的有界性可求m的值，进而得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）列表：

2x+$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$
f（x）	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	-$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$

描点，连线，作图如下：

…5分
（2）g（x）=f（x）+m=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$+m，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴g（x）∈[m，$\frac{3}{2}$+m]，…8分
∴由已知可得m=2，…9分
∴m_max（x）=$\frac{3}{2}$+m=$\frac{7}{2}$，…10分
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$时，g（x）最大，最大值为$\frac{7}{2}$．…12分．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的有界性和最值，考查了用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图，属于基础题．