[题目]已知椭圆为其左右焦点.为其上下顶点.四边形的面积为.点为椭圆上任意一点.以为圆心的圆(记为圆)总经过坐标原点.(1)求椭圆的长轴的最小值.并确定此时椭圆的方程,中确定的椭圆.若给定圆.则圆和圆的公共弦的长是否为定值?如果是.求的值,如果不是.请说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

【题目】已知椭圆为其左右焦点，为其上下顶点，四边形的面积为.点为椭圆上任意一点，以为圆心的圆（记为圆）总经过坐标原点.

（1）求椭圆的长轴的最小值，并确定此时椭圆的方程；

（2）对于（1）中确定的椭圆，若给定圆，则圆和圆的公共弦的长是否为定值？如果是，求的值；如果不是，请说明理由.

【答案】（1）长轴的最小值为，此时椭圆的方程为；（2）2.

【解析】

（1）利用四边形的面积求得，利用基本不等式求得的最小值，同时求得椭圆的方程.（2）设出点坐标，代入椭圆方程，得到点两个坐标的关系式.求得圆的方程和圆的方程，两者作差求得公共弦所在直线方程，求得圆心到公共弦的距离，由此求得弦长为定值.

解：（1）依题意四边形的面积为

因为长轴当且仅当时取“”

此时

故长轴的最小值为，此时椭圆的方程为

（2）设点为椭圆上任意一点，则.

圆的方程为：，

两式作差得公共弦方程为：，

所以弦心距

则弦长，所以圆和动圆的公共弦长为定值.

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：

【题目】已知函数的图象在点处的切线与直线平行.

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）若对于，，求实数的取值范围.

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

【题目】设为的内心，三边长，点在边上，且，若直线交直线于点，则线段的长为______.

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；

（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

【题目】已知函数（其中为常数且）

（1）若函数为减函数，求实数的取值范围；

（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围，并说明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

【题目】郑汴一体化是依托郑州省会城市资源优势发展开封的省级战略，实施至今，取得了一系列的成就：两城电信同价，金融同城，郑开大道全线贯通，城际列车实常态化运营．随着郑汴一体化的深入推进，很多人认为郑州开封未来有望合并．为了解市民对郑汴合并的态度，现随机抽查55人，结果按年龄分类统计形成如下表格：

	支持	反对	合计
不足35岁	20
35岁以上			30
合计		25	55

（1）请完成上面的2×2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为市民对郑汴合并的态度与年龄有关？

（2）在上述样木中用分层抽样的方法，从攴持郑汴合并的两组市民中随机抽取6人作进一步调查，从这6人中任选2人，求恰有1位“不足35岁”的市民和1位“35岁及以上”的市民的概率．

附：

	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.706	3.814	5.024		7.879	10.828

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

【题目】浦东一模之后的“大将” 洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习. 2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发了他的思考：假定地球（设为质点，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径约为万米）的中心为右焦点的椭圆. 已知地球的近木星点（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为万米，远木星点（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为万米.

（1）求如图给定的坐标系下椭圆的标准方程；

（2）若地球在流浪的过程中，由第一次逆时针流浪到与轨道中心的距离为万米时（其中分别为椭圆的长半轴、短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一条直线，称该直线的斜率为“变轨系数”. 求“变轨系数”的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞. （精确到小数点后一位）