Question

3．已知（$\sqrt{x}+\frac{2}{{x}^{2}}$）ⁿ的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比56：3．
（Ⅰ）求展开式中常数项；
（Ⅱ）当x=4时，求展开式中二项式系数最大的项．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用（$\sqrt{x}+\frac{2}{{x}^{2}}$）ⁿ的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比56：3，求出n，再求展开式中常数项；
（Ⅱ）当x=4时，展开式中二项式系数最大的项为T₆，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）∵（$\sqrt{x}+\frac{2}{{x}^{2}}$）ⁿ的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比56：3，
∴$\frac{{C}_{n}^{4}•{2}^{4}}{{C}_{n}^{2}•{2}^{2}}$=$\frac{56}{3}$，
∴n=10，
∵通项为${C}_{10}^{r}•{2}^{r}•{x}^{\frac{10-5r}{2}}$，
∴令$\frac{10-5r}{2}$=0，可得r=2，
∴展开式中常数项为${C}_{10}^{2}•{2}^{2}$=180；
（Ⅱ）当x=4时，展开式中二项式系数最大的项为${C}_{10}^{5}•{2}^{5}•{4}^{-\frac{15}{2}}$=$\frac{63}{256}$．

点评 本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用二项式定理是关键．