Question

15．如图，已知△ABC是边长为4的正三角形，D是BC的中点，E，F分别是边AB，AC上的点，且∠EDF=$\frac{π}{3}$，设∠BDE=θ$（\frac{π}{6}＜θ＜\frac{π}{2}）$．
（Ⅰ）试将线段DF的长表示为θ的函数；
（Ⅱ）设△DEF的面积为S，求S=f（θ）的解析式，并求f（θ）的最小值；
（Ⅲ）若将折线BE-ED-DF-FC绕直线BC旋转一周得到空间几何体，试问：该几何体的体积是否有最小值？若有，求出它的最小值；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦定理求出即可；
（Ⅱ）根据正弦定理求出DE，表示出三角形的面积，结合角的范围，从而求出三角形的最小值；
（Ⅲ）先求出组合体的体积，根据基本不等式的性质，解出答案．

解答 解：（Ⅰ）在△DFC中，∠FDC=$\frac{2π}{3}$-θ，∠C=$\frac{π}{3}$，∠DFC=θ，
由正弦定理：$\frac{DF}{sinC}$=$\frac{DC}{sinθ}$，得$\frac{DF}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{2}{sinθ}$，
即DF=$\frac{\sqrt{3}}{sinθ}$（$\frac{π}{6}$＜θ＜$\frac{π}{2}$），
（Ⅱ）在△BDE中，∠BED=$\frac{2π}{3}$-θ，∠B=$\frac{π}{3}$，∠BDE=θ，
由正弦定理：$\frac{BD}{sin∠BED}$=$\frac{DE}{sinB}$，得：DE=$\frac{BDsinB}{sin∠BED}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$，
∴S=$\frac{1}{2}$DE•DF•sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•$\frac{\sqrt{3}}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$•$\frac{\sqrt{3}}{sinθ}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2sin（2θ-\frac{π}{6}）+1}$，
∵θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），∴2θ-$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
当2θ-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$时，S_min=$\frac{3\sqrt{3}}{2+1}$=$\sqrt{3}$；
（Ⅲ）存在，最小值为4π，理由如下：
该几何体是由四个圆锥构成的组合体，过E点作EM⊥BD于M点，则EM=EDsinθ，
过F点作FN⊥DC于N点，则FN=DFsin（$\frac{2π}{3}$-θ），
EM•FN=$\frac{\sqrt{3}}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$sinθ•$\frac{\sqrt{3}}{sinθ}$sin（$\frac{2π}{3}$-θ）=3，
则组合体的体积V=$\frac{1}{3}$π•EM²•BD+$\frac{1}{3}$π•FN²•DC=$\frac{2π}{3}$（EM²+FN²），
所以V≥$\frac{2π}{3}$•2EM•FN=4π，当且仅当EM=FN时取“=”，
所以所得几何体的体积有最小值为4π．

点评 本题考查了解三角形问题，考查函数最值问题，考查基本不等式的性质的应用，是一道中档题．