Question

7．不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥-1}\\{x+y≤3}\\{y≥x+1}\end{array}\right.$表示的平面区域为Ω，直线y=kx-1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为（　　）

• A． （0，3]
• B． [-1，3]
• C． （-∞，-1）∪[3，+∞）
• D． （-∞，1]∪[3，+∞）

Answer 1

分析 作出题中不等式组对应的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部．因为直线y=kx-1经过定点M（0，-1），所以当直线y=kx-1与区域有公共点时，直线的位置应界于AM、CM之间，由此算出直线CM的斜率并加以观察即可得到实数k的取值范围．

解答 解：作出不等式组表示的平面区域，如图示：
得到如图所示的△ABC及其内部，即为区域Ω
其中A（，-1，0），B（-1，4），C（1，2）
∵直线y=kx-1经过定点M（0，-1），
∴当直线y=kx-1与区域Ω有公共点时，它的位置应界于AM、CM之间（含边界）
∵直线CM的斜率k=$\frac{2+1}{1-0}$=3，直线AM的斜率k=-1，
∴k＞0时，直线y=kx-1斜率的最小值为3，可得实数k的取值范围为[3，+∞），
k＜0时，直线y=kx-1斜率的最大值为-1，可得实数k的取值范围为（-∞，-1]，
故选：C．

点评 本题给出平面区域Ω与直线y=kx-1必定有公共点，求实数k的取值范围，着重考查了直线的斜率公式和简单线性规划等知识．