Question

12．已知数列{a_n}：$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{1}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{3}{1}$，…$\frac{1}{k}$，$\frac{2}{k-1}$，$\frac{3}{k-2}$，…，$\frac{k}{1}$，…，则：
（1）在这个数列中，若a_n是第3个值等于1的项，则n=13；
（2）a₂₀₁₅=31．

Answer 1

分析 （1）结合规律$\frac{1}{k}$，$\frac{2}{k-1}$，$\frac{3}{k-2}$，…，$\frac{k}{1}$得：第3个值等于1的项a_n=$\frac{3}{3}$，进而求出n的值；
（2）将数列分组：$\frac{1}{1}$，（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{1}$），（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{3}{1}$），…，（$\frac{1}{k}$，$\frac{2}{k-1}$，$\frac{3}{k-2}$，…，）$\frac{k}{1}$，…，根据数列的规律和等差数列的前n项和公式求出第2015项的值．

解答 解：（1）若a_n是第3个值等于1的项，则a_n=$\frac{3}{3}$，求得n=1+2+3+4+3=13；
故答案是：13；
（2）：（1）将数列分组：$\frac{1}{1}$，（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{1}$），（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{3}{1}$），…，（$\frac{1}{k}$，$\frac{2}{k-1}$，$\frac{3}{k-2}$，…）$\frac{k}{1}$，…，
因为1+2+3+…+62=1953，1+2+3+…+63=2016，
所以数列的第2015项属于第63组倒数第1个数，即为$\frac{62}{2}$=31；
故答案是：31．

点评 本题考查了规律型：数字的变化，有一定的难度，找到分子分母的和与分数的个数的关系，以及分子分母的和为偶数的项中，有一个值等于1的规律是解题的关键．