Question

【题目】已知函数（x≠0，常数a∈R）．

（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；

（2）若f（1）＝2，试判断f（x）在[2，＋∞）上的单调性

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）利用函数奇偶性的定义进行判断，要对进行分类讨论；

（2）由，确定的值，然后用单调性的定义进行判断和证明即可.

试题解析：

（1）当a＝0时，f（x）＝x2，

f（－x）＝f（x），函数是偶函数．

当a≠0时，f（x）＝x2＋ （x≠0，常数a∈R），取x＝±1，得f（－1）＋f（1）＝2≠0；

f（－1）－f（1）＝－2a≠0，即f（－1）≠－f（1），f（－1）≠f（1）．

故函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．

（2）若f（1）＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，这时f（x）＝x2＋．

任取x1，x2∈[2，＋∞），且x1<x2，

则f（x1）－f（x2）＝

＝（x1＋x2）（x1－x2）＋ （注：若用导数论证，同样给分）

＝（x1－x2）．

由于x1≥2，x2≥2，且x1<x2．故x1－x2<0，，

所以f（x1）<f（x2），故f（x）在[2，＋∞）上是单调递增函数．