Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，F为AC和BD的交点．

（1）证明：PB∥平面AEC；

（2）证明：平面PAC⊥平面PBD．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）连接EF，利用中位线定理得出EF∥PB，故而PB∥平面AEC；

（2）由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，结合AC⊥BD可得BD⊥平面PAC，故而平面PAC⊥平面PBD．

解：（1）证明：连接EF，

∵四边形ABCD是菱形，

∴F是BD的中点，又E是PD的中点，

∴PB∥EF，又EF平面AEC，PB平面AEC，

∴PB∥平面AEC；

（2）∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

∴PA⊥BD，

∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，

又AC平面PAC，PA平面PAC，AC∩PA=A，

∴BD⊥平面PAC，又∵BD平面PBD，

∴平面PAC⊥平面PBD．