Question

【题目】某市为了缓解交通压力，提倡低碳环保，鼓励市民乘坐公共交通系统出行．为了更好地保障市民出行，合理安排运力，有效利用公共交通资源合理调度，在某地铁站点进行试点调研市民对候车时间的等待时间（候车时间不能超过20分钟），以便合理调度减少候车时间，使市民更喜欢选择公共交通．为此在该地铁站的一些乘客中进行调查分析，得到如下统计表和各时间段人数频率分布直方图：

分组	等待时间（分钟）	人数
第一组	[0，5）	10
第二组	[5，10）	a
第三组	[10，15）	30
第四组	[15，20）	10

（1）求出a的值；要在这些乘客中用分层抽样的方法抽取10人，在这10个人中随机抽取3人至少一人来自第二组的概率；
（2）从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题可知， ．

采取分层抽样的方法在第一，第二，第三，第四组分别抽取：1，5，3，1人．

“在这10个人中随机抽取3人至少一人来自第二组”记为事件A，

则 ．

（2）解：X的可能取值为1，2，3，

，

，

，

所以X的分布列为

X	1	2	3
P

【解析】（1）由题先求出a，采取分层抽样的方法在第一，第二，第三，第四组分别抽取：1，5，3，1人．由此利用对立事件概率计算公式能求出在这10个人中随机抽取3人至少一人来自第二组的概率．（2）X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．
【考点精析】关于本题考查的离散型随机变量及其分布列，需要了解在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能得出正确答案．