Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3且a_n+1=2S_n+3，数列{b_n}为等差数列，且 公差d＞0，b₁+b₂+b₃=15
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若

a1

3

+b1，

a2

3

+b2，

a3

3

+b3成等比数列，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）对第（2）小题的Tn，当Tn+16≥λn对任意的n∈N*恒成立，求λ的最大值．

Answer 1

分析：（1）再写一式，两式相减，可得数列{a_n}是等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用{b_n}为等差数列，且公差d＞0，b₁+b₂+b₃=15，

a1

3

+b1，

a2

3

+b2，

a3

3

+b3成等比数列，求出公差，即可求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）由题意，λ≤n+

16

n

+2，利用基本不等式，即可求出λ的最大值．

解答：解：（1）由a_n+1=2S_n+3，得a_n=2S_n-1+3（n≥2）…（2分）
相减得：a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1），即a_n+1=3a_n，
∵当n=1时，a₂=2a₁+3=9，∴

a2

a1

=3，
∴数列{a_n}是等比数列，
∴a_n=3•3^n-1=3ⁿ…（5分）
（2）∵b₁+b₂+b₃=15，b₁+b₃=2b₂，
∴b₂=5…（6分）
由题意，

a1

3

+b1，

a2

3

+b2，

a3

3

+b3成等比数列，
∴(

a2

3

+b2)2=(

a1

3

+b1)(

a3

3

+b3)，
设b₁=5-d，b₃=5+d，
∴64=（5-d+1）（5+d+9），
∴d²+8d-20=0，得d=2或d=-10（舍去）
故Tn=3n+

n(n-1)

2

•2=n2+2n …（10分）
（3）由题意，λ≤n+

16

n

+2，
∵n+

16

n

≥2

n• 16 n

=8，
∴λ的最大值为8+2=10．…（14分）

点评：本题考查等比数列的通项，考查等差数列的求和，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，确定数列的通项是关键．