Question

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形且∠ADC=60°，M为PB的中点.

(1)求PA与底面ABCD所成角的大小.   

(2)求证：PA⊥平面CDM.

(3)求二面角D-MC-B的余弦值.

Answer 1

解：(1)取DC的中点O，由△PDC是正三角形，有PO⊥DC.

       又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O.

        连接OA,则OA是PA在底面上的射影,

        ∴∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角.

        ∵∠ADC=60°,由已知△PCD和△ACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=.

 ∴∠PAO=45°,∴PA与底面ABCD所成角的大小为45°. ……………4分

    (2)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°,DC=2,DO=1,得OA⊥DC.

      建立空间直角坐标系如图，

      则A(,0,0),P(0,0,),D(0,-1,0),B(,2,0),C(0,1,0).

      由M为PB中点,∴M(,1,),

    ∴=(,2,)，=(，0，-),=(0,2,0),

∴

 

∴PA⊥DM,PA⊥DC.又DM∩DC=D,∴PA⊥平面CDM.        ……………8分    

 (3)=(,0,)，=(，1，0).

    设平面BMC的法向量n=(x,y,z),

    则n·=0，从而x+z=0;①

    n·=0,从而x+y=0,②

    由①②，取x=-1，则y=,z=1.∴可取n=(-1,,1).

    由(2)知平面CDM的法向量可取=(,0,-),

     ∴

     ∴所求二面角的余弦值为.               ……………12分