Question

数列{1+（1+2）+（1+2+4）+…+（1+2+…+2^n-1）}的前n项和为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：先求出1+2+…+2^n-1=2ⁿ-1，再用分组求和法求出1+（1+2）+（1+2+4）+…+（1+2+…+2^n-1）=2ⁿ⁺¹-2-n．由此能求出数列{1+（1+2）+（1+2+4）+…+（1+2+…+2^n-1）}的前n项和．

解答： 解：∵1+2+…+2^n-1=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1，
∴1+（1+2）+（1+2+4）+…+（1+2+…+2^n-1）
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-n
=

2(1-2n)

1-2

-n
=2ⁿ⁺¹-2-n．
∴数列{1+（1+2）+（1+2+4）+…+（1+2+…+2^n-1）}的前n项和：
S_n=（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）-2n-（1+2+3+…+n）
=

4(1-2n)

1-2

-2n-

n(n+1)

2

=2n+2-

n2+5n

2

-4．
故答案为：2n+2-

n2+5n

2

-4．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．