Question

点P是底边长为2正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的直径，则

PM

•

PN

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：由题意，问题等价于已知MN是边长为2的正△ABC内切圆的一条直径，P为边AB上的一动点，求

PM

•

PN

的取值范围．建立直角坐标系，利用正三角形的中心的性质，可得内切圆的半径r=

3

3

．可得正△ABC内切圆的方程为x²+（y-

3

3

）²=

1

3

．设P（t，0）（-1≤t≤1），M（x₀，y₀），N（-x₀，

2 3

3

-y₀）．再利用数量积运算即可得出．

解答： 解：由题意，问题等价于已知MN是边长为2的正△ABC内切圆的一条直径，P为边AB上的一动点，求

PM

•

PN

的取值范围．
如图所示，
∵⊙D是边长为2的正△ABC内切圆，
∴内切圆的半径r=

1

3

|OC|=

3

3

．
∴正△ABC内切圆的方程为x²+（y-

3

3

）²=

1

3

．
设P（t，0）（-1≤t≤1），M（x₀，y₀），N（-x₀，

2 3

3

-y₀）．
∴x₀²+（y₀-

3

3

）²=

1

3

，即x₀²+y₀²-

2 3

3

y₀=0．
∴

PM

•

PN

=t²-（x₀²+y₀²-

2 3

3

y₀）=t²，
∵-1≤t≤1．
∴t²∈[0，1]．
∴

PM

•

PN

的取值范围的取值范围是[0，1]．
故答案为：[0，1]．

点评：本题考查了正三角形的中心的性质、内切圆的方程、数量积的运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．