【题目】如图,已知椭圆的左顶点
,且点
在椭圆上,
分别是椭圆的左、右焦点。过点
作斜率为
的直线交椭圆
于另一点
,直线
交椭圆
于点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若为等腰三角形,求点
的坐标;
(3)若,求
的值.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】试题分析:
(1)由题意得到关于的方程组,求解方程组可得椭圆
的标准方程:
;
(2)由题意可得点在
轴下方据此分类讨论有:
,联立直线
的方程与椭圆方程可得
;
(3)设直线的方程
,联立直线方程与椭圆方程,可得
利用几何关系
计算可得
,利用点
在椭圆上得到关于实数k的方程,解方程有:
.
试题解析:
(1)由题意得,解得
∴椭圆的标准方程:
(2)∵为等腰三角形,且
∴点
在
轴下方
若
,则
;
若
,则
,∴
;
若
,则
,∴
;
∴
∴直线的方程
,由
得
或
∴
(3)设直线的方程
,
由得
∴ ∴
∴ ∴
若,则∴
,∴
,∵
,∴
,∴
与
不垂直;
∴,∵
,
,
∴直线的方程
,直线
的方程:
由 解得
∴
又点在椭圆上得
,即
,即
∵,∴
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A是x轴正半轴上的任一点,且,点B在射线ON上运动.
(1)若点,当
为直角三角形时,求
的值;
(2)若点,求点A关于射线
的对称点P的坐标;
(3)若,C为线段AB的中点,若Q为点C关于射线ON的对称点,求点
的轨迹方程,并指出x、y的取值范围.
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【题目】如图,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD所成角为60°.
(Ⅰ)求证:AC⊥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角F﹣BE﹣D的余弦值.
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【题目】已知椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点的直线
与椭圆
相交于
两点,点
关于原点的对称点为
,若点
总在以线段
为直径的圆内,求
的取值范围.
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【题目】已知椭圆C: 的左焦点为F(-1,0),经过点F的直线l0与椭圆交于A,B两点.当直线l0⊥x轴时,|AB|=
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)作直线l⊥x轴,分别过A,B作AA1⊥l,垂足为A1,BB1⊥l,垂足为B1,且△A1FB1是直角三角形.问:是否存在直线l使得∠A1FO=2∠B1FO?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】已知椭圆E: ,其焦点为F1,F2,离心率为
,直线l:x+2y-2=0与x轴,y轴分别交于点A,B,
(1)若点A是椭圆E的一个顶点,求椭圆的方程;
(2)若线段AB上存在点P满足|PF1|+|PF2|=2a,求a的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,C1的参数方程为 (t为参数),在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,C2的极坐标方程ρ2-2ρcos θ-3=0.
(Ⅰ)说明C2是哪种曲线,并将C2的方程化为普通方程;
(Ⅱ)C1与C2有两个公共点A,B,定点P的极坐标,求线段AB的长及定点P到A,B两点的距离之积.
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【题目】如图,一张A4纸的长宽之比为,
分别为
,
的中点.现分别将△
,△
沿
,
折起,且
,
在平面
同侧,下列命题正确的是__________.(写出所有正确命题的序号)
①,
,
,
四点共面;
②当平面平面
时,
平面
;
③当,
重合于点
时,平面
平面
;
④当,
重合于点
时,设平面
平面
,则
平面
.
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【题目】已知椭圆E: 经过点
,离心率为
.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若A1,A2分别是椭圆E的左、右顶点,过点A2作直线l与x轴垂直,点P是椭圆E上的任意一点(不同于椭圆E的四个顶点),连接PA1交直线l于点B,点Q为线段A2B的中点,求证:直线PQ与椭圆E只有一个公共点.
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