Question

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x²相交于A，B两点，一条垂直于x轴的直线分别与线段AB和直线l：y=-c交于点P，Q．
（1）若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2，求c的值；
（2）若P为线段AB的中点，求证：直线QA与该抛物线有且仅有一个公共点．
（3）若直线QA的斜率存在，且与该抛物线有且仅有一个公共点，试问P是否一定为线段AB的中点？说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出直线AB：y=kx+c，代入抛物线的方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，解方程可得c的值；
（2）运用中点坐标公式可得Q的坐标，运用两点的斜率公式，可得QA的斜率，求得抛物线对应函数的导数，可得切线的斜率，即可得证；
（3）设A（t，t²），这里x_A=t≠0，由（2）知过A的与y=x²有且仅有一个公共点的斜率存在的直线必为y=2tx-t²．求得Q的横坐标，P的横坐标，求得AC的方程，联立抛物线的方程，求得B的横坐标，运用中点坐标公式，即可判断P为线段AB的中点．

解答 解：（1）设直线AB：y=kx+c，与y=x²联立，得x²-kx-c=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁x₂=-c，从而y₁y₂=x₁²x₂²=c²，
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2，可得c²-c=2得c=2或-1（舍去），
得c=2；
（2）证明：由（1）可得$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{k}{2}$，
故直线PQ：x=$\frac{k}{2}$，可得$Q（{\frac{k}{2}，-c}）$．
设$A（{x_1}，x_1^2）$，k_QA=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+c}{{x}_{1}-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$=$\frac{2（{{x}_{1}}^{2}+c）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
由（1）可得x₁x₂=-c，即有x₂=-$\frac{c}{{x}_{1}}$，
可得k_QA=$\frac{2（{{x}_{1}}^{2}+c）}{{x}_{1}-（-\frac{c}{{x}_{1}}）}$=2x₁，
由y=x²的导数为y′=2x，
可得过A的切线的斜率为2x₁，
故直线QA与该抛物线有且仅有一个公共点；
（3）设A（t，t²），这里x_A=t≠0，
由（2）知过A的与y=x²有且仅有一个公共点的斜率存在的直线必为y=2tx-t²．
与y=-c相交，得${x_Q}=\frac{{{t^2}-c}}{2t}$．
故${x_P}=\frac{{{t^2}-c}}{2t}$，$\overrightarrow{CA}=（t，{t^2}-c）$，
所以${l_{AC}}：y=（{t-\frac{c}{t}}）x+c$．与y=x²联立，得x²-（t-$\frac{c}{t}$）x-c=0，
即$（x-t）（{x+\frac{c}{t}}）=0$，故${x_B}=-\frac{c}{t}$．
这样${x_P}=\frac{1}{2}（{x_A}+{x_B}）$，即P是AB的中点．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，直线和抛物线相切的条件，考查向量的数量积的坐标表示，以及直线的斜率公式的运用，化简整理的运算能力，属于中档题．