Question

13．已知点P（x，y）在椭圆$\frac{x^2}{3}$+y²=1上，且x+y+a≥0恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A． a≥2
• B． a≥-2
• C． a≥0
• D． a＜0

Answer 1

分析 由P在椭圆上，可设x=$\sqrt{3}$cosα，y=sinα（0≤α＜2π），运用两角和的正弦公式和正弦函数的图象和性质，可得x+y的最小值，由x+y+a≥0恒成立，即-a≤x+y的最小值，即可得到a的范围．

解答 解：由点P（x，y）在椭圆$\frac{x^2}{3}$+y²=1上，
可设x=$\sqrt{3}$cosα，y=sinα（0≤α＜2π），
则x+y=$\sqrt{3}$cosα+sinα=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα+$\frac{1}{2}$sinα）=2sin（α+$\frac{π}{3}$），
由0≤α＜2π，可得$\frac{π}{3}$≤α+$\frac{π}{3}$＜$\frac{7π}{3}$，
当α+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$，即α=$\frac{7π}{6}$时，sin（α+$\frac{π}{3}$）取得最小值-1，
则x+y的最小值为-2，
由x+y+a≥0恒成立，即-a≤x+y的最小值，
即为-a≤-2，解得a≥2．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的参数方程的运用，注意运用转化思想，将不等式恒成立问题化为求函数的最值问题，考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．