Question

3．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$cos²x+sinxcosx．
（1）求f（$\frac{π}{12}$）的值；
（2）若α∈（0，π），f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求sin（α+$\frac{7π}{12}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简，再将x=$\frac{π}{12}$代入函数即可求其函数值；
（2）将x=$\frac{α}{2}$代入函数中可求出关于α的方程，通过变形即可得所求．

解答 解：（1）由题意得，
f（x）=$\sqrt{3}$cos²x+sinxcosx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cos2x）+$\frac{1}{2}$sin2x
=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故f（$\frac{π}{12}$）=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）由（1）可知，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以f（$\frac{α}{2}$）=sin（α+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{4}$，
又因为α∈（0，π），
所以α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），
所以α+$\frac{π}{3}$是第二象限角，
所以cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
所以sin（α+$\frac{7π}{12}$）=sin[（α+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{4}$]
=$\frac{1}{4}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+（-$\frac{\sqrt{15}}{4}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{30}}{8}$；
所以sin（α+$\frac{7π}{12}$）=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{30}}{8}$．

点评 本题主要考查三角函数公式的应用，以及三角恒等变换的巧妙使用，而易出现错误的地方在于通过已知条件对角所在象限角的判断，解题时需谨慎．