Question

11．已知f（x）为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f（x+3）=-f（x），且当x∈[0，3）时，f（x）=log₄（x+1），给出下列命题：
①f（2015）＞f（2014）；                  
②函数f（x）在定义域上是周期为3的函数；
③直线x-3y=0与函数f（x）的图象有2个交点；        
④函数f（x）的值域为[0，1）．
其中不正确的命题个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据已知中函数的奇偶性，及当x≥0时，有f（x+3）=-f（x），且当x∈[0，3）时，f（x）=log₄（x+1），画出函数的图象，逐一分析四个结论的真假，可得答案．

解答 解：∵f（x）为定义在R上的偶函数，且当x≥0时，有f（x+3）=-f（x），当x∈[0，3）时，f（x）=log₄（x+1），
故函数f（x）的图象如下图所示：

由图可得：f（2015）=f（5）=-f（2），f（2014）=f（4）=-f（1），f（2015）＜f（2014）；故①不正确；
函数f（x）在定义域上不是周期函数，故②错误；
直线x-3y=0与函数f（x）的图象有1个交点，故③错误；
函数f（x）的值域为（-1，1），故④不正确；
故选：D．

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的图象和性质，其中根据已知画出满足条件的函数图象是解答的关键．