Question

6．已知数列{a_n}满足a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n+1）（n+2）（n∈N^*），则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{6，n=1}\\{2+\frac{2}{n}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 再写一式，两式相减，即可求得数列的通项．

解答 解：∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n+1）（n+2），
当n=1时，a₁=（1+1）×（1+2）=6，
∴n≥2时，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=n（n+1），
两式相减得na_n=（n+1）（n+2）-n（n+1）=2n+2，
∴a_n=2+$\frac{2}{n}$，（n≥2），
∵n=1时，a₁=3，不满足上式
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{6，n=1}\\{2+\frac{2}{n}，n≥2}\end{array}\right.$
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{6，n=1}\\{2+\frac{2}{n}，n≥2}\end{array}\right.$

点评 本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，属于基础题．