Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不共线，向量$\overrightarrow{m}$=λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$+$μ\overrightarrow{b}$平行，且|$\overrightarrow{m}$|=2|$\overrightarrow{n}$|，则λ+μ=（　　）

• A． -$\frac{3}{2}$
• B． ±$\frac{3}{2}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $±\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 以$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$为基底，用坐标表示出向量$\overrightarrow{m}$、$\overrightarrow{n}$，再根据$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$与|$\overrightarrow{m}$|=2|$\overrightarrow{n}$|，列出关于λ、μ的方程组，求解即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不共线，
∴以$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$为基底，向量$\overrightarrow{m}$=λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（λ，1），
$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$+$μ\overrightarrow{b}$=（1，μ）；
又$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴λμ-1=0①；
又|$\overrightarrow{m}$|=2|$\overrightarrow{n}$|，
∴$\sqrt{{λ}^{2}+1}$=2$\sqrt{1{+μ}^{2}}$②；
由①②组成方程组，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=2}\\{μ=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{λ=-2}\\{μ=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
当λ=2，μ=$\frac{1}{2}$时，λ+μ=$\frac{5}{2}$；
当λ=-2，μ=-$\frac{1}{2}$时，λ+μ=-$\frac{5}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的坐标表示与应用问题，也考查了向量的平行与模长的应用问题，是基础题目．