Question

8．非零向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$满足|$\overrightarrow b}$|=2，＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞=30°，且对?λ＞0，且|$\overrightarrow a$-λ$\overrightarrow b}$|≥|${\overrightarrow a$-$\overrightarrow b}$|恒成立，则$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=（　　）

• A． 4
• B． $2\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由条件可对不等式$|\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}|≥|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$两边平方并整理便可得出$2{λ}^{2}-（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）λ+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-2≥0$，可设$f（λ）=2{λ}^{2}-（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）λ+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-2$，可求该二次函数的判别式和对称轴，从而可判断出要满足条件，需△=0，这样便可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值．

解答 解：根据条件，对$|\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}|≥|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$两边平方得：
${\overrightarrow{a}}^{2}-2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{λ}^{2}≥{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4$；
∴$2{λ}^{2}-（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）λ+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-2≥0$；
设$f（λ）=2{λ}^{2}-（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）λ+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-2$，$△=（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-4）^{2}$；
又二次函数f（λ）的对称轴为$x=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{4}=\frac{2|\overrightarrow{a}|cos30°}{4}＞0$；
则要使得f（λ）≥0恒成立，则△=0；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=4$．
故选：A．

点评 考查向量数量积的运算及计算公式，不等式的性质，以及二次函数的判别式取值情况和二次函数值的关系，要熟悉二次函数的图象．