Question

3．两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个图平行，各顶点均在正方体的表面上（如图），该八面体的体积可能值有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 无数个

Answer 1

分析 把正子体分成两个四棱锥，分别求两个四棱锥的体积，根据底面的范围，得到正子体的体积在一个取值范围中，不是一个定值，即可得出结论．

解答 解：设ABCD与正方体的截面四边形为A′B′C′D′，
设AA′=x（0≤x≤1），则AB′=1-x，|AD|²=x²+（1-x）²=2（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$
故S_ABCD=|AD|²∈[$\frac{1}{2}$，1]
V=$\frac{1}{3}$S_ABCD•h•2=$\frac{1}{3}$S_ABCD∈[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$]．
∴该八面体的体积可能值有无数个，
故选：D．

点评 本题主要考查求棱锥的体积，体现了转化的数学思想，属于中档题．