Question

8．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，PA⊥PD，平面PAD⊥平面ABCD，且AB=6，AD=4，PA=PD，E位PC的中点
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCD
（Ⅱ）F为底面ABCD上一点，当EF∥平面PAD时，求EF与平面PBC所成角的正弦值的最大值．

Answer 1

分析 （I）由面面垂直的性质得出CD⊥平面PAD，于是CD⊥PA，结合PA⊥PD得出PA⊥平面PCD，故而平面PAB⊥平面PCD；
（II）取AB，CD的中点M，N，连结MN，EN，ME，则可证明平面MNE∥平面PAD，故而F点在线段MN上，取AD的中点O，连结OP，以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$，计算|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{FE}$＞|的最大值即可．

解答 证明：（I）∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD，∵PA?平面PAD，
∴CD⊥PA，又PD⊥PA，PD?平面PCD，CD?平面PCD，PD∩CD=D，
∴PA⊥平面PCD，又PA?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PCD．
（II）取AB，CD的中点M，N，连结MN，EN，ME．
∵E是PC的中点，四边形ABCD是矩形，
∴EN∥PD，MN∥AD，
∴平面MNE∥平面PAD，
∵EF∥平面PAD，
∴F在线段MN上．
取AD的中点O，连结OP，
∵PA=PD，∴PO⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD．
过O作x轴⊥AD，以O为原点，Ox，OD，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
∵PA=PD，PA⊥PD，AD=4，∴PO=2，
∴P（0，0，2），B（6，-2，0），C（6，2，0），E（3，1，1），
设F（3，y₀，0），则y₀∈[-2，2]．
∴$\overrightarrow{FE}$=（0，1-y₀，1），$\overrightarrow{PC}$=（6，2，-2，），$\overrightarrow{BC}$=（0，4，0）．
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6x+2y-2z=0}\\{4y=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，3）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{FE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{FE}|}$=$\frac{3}{\sqrt{10}\sqrt{（{y}_{0}-1）^{2}+1}}$．
∴当y₀=1时，|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{FE}$＞|取得最大值$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴EF与平面PBC所成角的正弦值的最大值为$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，空间角的计算，空间向量的应用，属于中档题．