Question

9．已知f（x）=（x-2）e^x+ax²+x，a∈R．
（1）当$a=-\frac{1}{2}$时，求f（x）的单调区间；
（2）证明：当a∈[-2，0]时，f（x）＜f′（x）总成立（f′（x）是f（x）的导函数）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）得到-e^x+ax²-（2a-1）x-1＜0，令g（a）=（x²-2x）a-e^x+x-1，a∈[-2，0]，g（a）是关于a的一次函数，通过讨论x的范围求出g（a）的最大值，证明即可．

解答 解：（1）a=-$\frac{1}{2}$时，f（x）=（x-2）e^x-$\frac{1}{2}$x²+x，
f′（x）=（x-1）e^x-x+1=（x-1）（e^x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，0）递增，在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）证明：f′（x）=（x-1）e^x+2ax+1，
f（x）＜f′（x）即-e^x+ax²-（2a-1）x-1＜0，
令g（a）=（x²-2x）a-e^x+x-1，a∈[-2，0]，g（a）是关于a的一次函数，
①x²-2x＞0即x＞2或x＜0时，g（a）在[-2，0]递增，
g（a）的最大值是g（0）=-2＜0，成立，
②x²-2x=0即x=0或2时，g（a）=-2或g（a）=1-e²＜0，成立，
③x²-x＜0即0＜x＜2时，g（a）在（0，2）递减，
g（a）的最大值是g（0）=-e^x+x-1，（0＜x＜2），
令h（x）=-e^x+x-1，h′（x）=-e^x+1＜0，
∴h（x）＜h（0）=-2＜0，成立，
综上，当a∈[-2，0]时，f（x）＜f′（x）总成立．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．