Question

4．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是棱AB的中点，BC=1，AA₁=$\sqrt{3}$．
（1）求证：BC₁∥平面A₁DC；             
（2）求二面角D-A₁C-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结AC₁，A₁C，交于点E，连结DE，利用向量法能证明BC₁∥平面A₁DC．
（2）取BC中点O，B₁C₁中点O，以O为原点，OB为x轴，OP为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-A₁C-A的余弦值．

解答 证明：（1）连结AC₁，A₁C，交于点E，连结DE，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形ACC₁A₁是矩形，
∴E是AC₁的中点，
∵点D是棱AB的中点，∴DE∥BC₁，
∵BC₁?平面A₁DC，DE?平面A₁DC，
∴BC₁∥平面A₁DC．
解：（2）取BC中点O，B₁C₁中点O，连结AO、OP，
正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AO⊥平面BCC₁B₁，
PO⊥OB，
∴以O为原点，OB为x轴，OP为y轴，OA为z轴，
建立空间直角坐标系，
A（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（$\frac{1}{2}$，0，0），D（$\frac{1}{4}，0，\frac{\sqrt{3}}{4}$），A₁（0，$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（-$\frac{1}{2}$，0，0），
$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{3}{4}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），$\overrightarrow{CA}$=（$\frac{1}{2}，0，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设平面DA₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=\frac{1}{2}x+\sqrt{3}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=\frac{3}{4}x+\frac{\sqrt{3}}{4}z=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$），
设平面A₁CA的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=\frac{1}{2}a+\sqrt{3}b+\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CA}=\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，0，-1），
设二面角D-A₁C-A的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{\frac{13}{3}}•\sqrt{4}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
∴二面角D-A₁C-A的余弦值为$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．