Question

13．已知a∈R，集合A={x|ax²-2x+2a-1=0}，B={x|x+|4x-a|＞1}，p：A=∅，q：B=R．
（1）若p∧q为真，求a的取值范围；
（2）若p∧q为假，p∨q为真，求a的最大值．

Answer 1

分析 （1）对于集合A：a=0时，-2x-1=0，有解，舍去；a≠0，由A=∅，可得△＜0，解得a范围．对于集合B：x+|4x-a|＞1，化为|4x-a|＞1-x，由B=R，可得$\frac{a}{4}$＞1．由p∧q为真，可得p与q都为真即可得出．
（2）由p∧q为假，p∨q为真，可得p与q必然一真一假，即可得出．

解答 解：（1）对于集合A：a=0时，-2x-1=0，解得x=-$\frac{1}{2}$，舍去；
a≠0，由A=∅，∴△=4-4a（2a-1）＜0，解得a＞1或a$＜-\frac{1}{2}$．
对于集合B：x+|4x-a|＞1，化为|4x-a|＞1-x，∵B=R，∴$\frac{a}{4}$＞1，解得a＞4．
∵p∧q为真，∴p与q都为真，∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞1或a＜-\frac{1}{2}}\\{a＞4}\end{array}\right.$，解得a＞4．
∴a的取值范围是（4，+∞）．
（2）∵p∧q为假，p∨q为真，∴p与q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞1或a＜-\frac{1}{2}}\\{a≤4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤a≤1}\\{a＞4}\end{array}\right.$，
解得$a＜-\frac{1}{2}$，或1＜a≤4，或∅．
∴a的最大值是4．

点评 本题考查了含绝对值不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．