Question

16．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α为参数），曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosβ\\ y=2+2sinβ\end{array}\right.$（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C₁和曲线C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）已知射线l₁：θ=α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），将射线l₁顺时针旋转$\frac{π}{6}$得到射线l₂：θ=α-$\frac{π}{6}$，且射线l₁与曲线C₁交于O、P两点，射线l₂与曲线C₂交于O、Q两点，求|OP|•|OQ|的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α为参数），利用平方关系消去参数可得曲线C₁的直角坐标方程，利用互化公式可得曲线C₁极坐标方程．曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosβ\\ y=2+2sinβ\end{array}\right.$（β为参数），消去参数可得：曲线C₂的普通方程，利用互化公式可得C₂极坐标方程．
（2）设点P极点坐标（ρ₁，4cosα），即ρ₁=4cosα．点Q极坐标为$（{ρ_2}，4sin（α-\frac{π}{6}））$，即${ρ_2}=4sin（α-\frac{π}{6}）$．代入|OP|•|OQ|，利用和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α为参数），
利用平方关系消去参数可得：曲线C₁的普通方程为（x-2）²+y²=4，展开可得：x²+y²-4x=0，
利用互化公式可得：ρ²-4ρcosθ=0，
∴C₁极坐标方程为ρ=4cosθ．
曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosβ\\ y=2+2sinβ\end{array}\right.$（β为参数），消去参数可得：
曲线C₂的普通方程为x²+（y-2）²=4，
展开利用互化公式可得C₂极坐标方程为ρ=4sinθ．
（2）设点P极点坐标（ρ₁，4cosα），即ρ₁=4cosα．
点Q极坐标为$（{ρ_2}，4sin（α-\frac{π}{6}））$，即${ρ_2}=4sin（α-\frac{π}{6}）$．
则$|OP|•|OQ|={ρ_1}{ρ_2}=4cosα•4sin（α-\frac{π}{6}）$=$16cosα•（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinα-\frac{1}{2}cosα）$=$8sin（2α-\frac{π}{6}）-4$．
∵$α∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴$2α-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，
当$2α-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$α=\frac{π}{3}$时，|OP|•|OQ|取最大值4．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直线与曲线相交弦长公式、直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．